Paradox

A)We hebben een realiteit. Het gene jij en ik dagelijks ervaren met onze zintuigen.
B)We hebben een gedachte experiment. Iets dat enkel in ons hoofd bestaat.
C) We proberen deze 2 te verenigen. De wetenschap probeert dit. Op deze basis kunnen dan voorspellingen gemaakt worden.

A) is iets dat ieder van ons doet.
B) is iets dat ieder van ons doet.
C) soms wordt de wiskunde gebruikt om dit te doen.

Hoe staat dit in verhouding tot onze ‘pijl raakt nooit doel’-gedachte experiment? Als we met pijl en boog gaan schieten om te jagen of te sporten, zullen we waarschijnlijk zo geen gedachte experiment hebben. We zijn dan eerder bezig met hoe moet ik mijn doel raken. Wat die pijl onderweg doet is van minder belang.

Toch is deze pijl ‘raakt nooit doel’ interessant, omdat iedereen toch bekent is met een pijl en boog. Iedereen weet wat er gebeurd met de pijl en de boog. We kunnen ons dus ook het experiment voor de geest halen. We zien de pijl in onze verbeelding vliegen. We zien dat de pijl ofwel zijn doel raakt ofwel niet raakt. Een hele hoop fysische wetten maakt dit mogelijk. De pijl heeft energie als hij vliegt. Hij wordt aangetrokken door de aarde en zal uiteindelijk ergens neer komen. Hoe we ook denken we gaan het moeilijk hebben om dit gedachte experiment in de realiteit te ervaren. Nochtans kunnen we in onze gedachte een pijl voorstellen die zijn doel nooit nadert, door te redeneren dat hij eerst de helft van de afstand aflegt, daarna de helft van die helft, enz. Het verschil met de realiteit blijk te zijn dat de pijl oneindig kan blijven in de lucht hangen, want die is altijd maar bezig met de helft van de helft van de helt van de helft tot in de oneindigheid af te leggen zonder zijn doel ooit te raken. Dit is een experiment dat we tot nu toe enkel in onze gedachten kunnen maken. De pijl uit ons gedachte experiment gehoorzaamt heel andere fysische wetten dan een echte pijl. EN DIT IS NET DE KRACHT VAN ONZE GEDACHTEN.

Blijkt dat ons gedachte experiment met een Wiske reeks overeenkomt. Dit is de som van de helft + de helft van de vorige helft + de helft van de vorige helft + …

Wiske reeks : \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}

Ik ga het formele gedeelte van de limiet achterwegen laten. Het zal later aanbod komen, wanneer gaat blijken dat we het echt nodig gaan hebben.

 

Limiet

Dit is het eerste deel van de calculus. Ik ga proberen de limiet als concept uit te leggen. Probleem met limiet uitleg op school is dat ze meestal ook een korte conceptuele uitleg geven, maar daarna overschakelen op de orde van de dag en out of the blue de wiskundige beschrijving van een limiet geven. Volgens mij wekt deze manier van werken enkel maar verwarring in de hand. Het is beter om een simpel voorbeeld te nemen dat iedereen kan begrijpen en dat consequent blijven hanteren tot de volledige redenering is gemaakt. Ik zou min of meer de benadering willen nemen van een kookboek. Je somt daar de ingrediënten op en geeft een uitleg hoe je die ingrediënten met elkaar gaat verbinden. Voor de limiet zou dat zijn: de pijl die nooit zijn doel raakt, een reeks die daar mee samenhangt, notatie, … In de wiskunde hebben we altijd een notatie nodig. Notatie is belangrijk om zo goed mogelijk een beschrijving te kunnen geven.

Bekijk volgende rij getallen : \frac{1}{2},  \frac{1}{4},  \frac{1}{8},  \frac{1}{16}, ...

Deze rij getallen komt terug in de pijl die zijn doel niet raakt (zie vroegere blog). De redenering gaat als volgt: het doel bevind zich op afstand 1, eerst legt de pijl de helft van de afstand af tot z’n doel (\frac{1}{2}), daarna de helft van de helft (\frac{1}{4}), vervolgens nog eens de helft daarvan (\frac{1}{8}), enz. Als we al deze afstanden optellen komen we nooit aan 1. Als we de eerste 30 termen optellen komen we aan 0.9999999991. Hieronder een afbeelding. Het madammeke zal nooit geraakt worden volgens deze redenering. We weten natuurlijk wel dat het madammeke in het echt wel kan geraakt worden, ofwel dat de pijl voorbij het madammeke zal vliegen of in het geval dat het een slappe boogschutter is, het madammeke niet geraakt zal worden. Dus in het echte leven hangt het af van de snelheid van de pijl of hij zijn doel zal raken of niet. In de wiskunde proberen we de dingen een beetje te forceren en stellen we een redenering op. Het helpt echter om eens een tekeningetje te maken om bepaalde concepten te begrijpen. Het madammeke stelt onze limiet voor. We stellen hier een rij op met getallen. Het volgende getal vinden we door het huidige door 2 te delen (\frac{1}{2},  \frac{1}{4},  \frac{1}{8},  \frac{1}{16}, ...). Om de afstand te berekenen moeten we al deze getallen optellen, dit noemen we een reeks in de wiskunde.

infiniteseries

We zien wel dat het getal heel dicht bij 1 komt maar nooit 1 zal worden. Om dit wiskundig uit te drukken heeft met de limiet uitgevonden.

We kunnen de limiet ook waarnemen als men van een figuur het aantal hoekpunten laat toenemen. We beginnen met een vierkant, dan een achthoek, etc. Hoelang kan je dat blijven doen? Wat wordt de figuur uiteindelijk?

output_zHbp2n

 Oneindig en een limiet hebben wat met elkaar te maken. Na hoeveel hoekpunten hebben we een cirkel? Oneindig veel hoekpunten?

Misschien kan je zelf wel zo een geval bedenken?

Pffff verlof

Was deze week met sneeuwverlof in Les Deux Alpes. Een week zonder computer, werk en wiskunde. Les2Alpes is elke jaar een min of meer verplicht nummertje voor mijn zoon. Het Belgisch Kampioenschap snowboarden wordt daar ieder jaar georganiseerd. Maar toch ook een klein beetje tijd vrijgemaakt om te lezen:

The ONE Thing van Gary W. Keller en Jay Papasan. Is een must read voor diegene die iets met hun leven willen doen. Ik heb er natuurlijk ook wel bedenkingen bij en je moet de dingen altijd een beetje in perspectief zien van je eigen leven en mogelijkheden, daar is niks mis mee. Het voelde ook een beetje zoals herkenning van waar ik de afgelopen jaren mee bezig ben geweest. Het boekje is wel wat extremer, maar ik ben de 50 gepasseerd en ik kan wat meer mijn eigen tempo bepalen. Het ‘domino effect’ is wel vrij krachtig, maar ook ‘Live for Productivity‘, ‘Live with Purpose‘. Klein beginnen om iets groots te verwezenlijken, vandaar kan je het domino effect in gang zetten. Probeer zoveel mogelijk dingen grondig te doen. Allé je weet wel veel zo van die CEO style shit, maar toch vind ik dat er een aantal goede levenslessen in staan.

LifeFood Recipe Book ‘Living on Life Force’ van A. en D. Jubb. Is weeral een terrible must read. Alles over onze moderne eetgewoonten en kwaliteit van voeding. Wisten jullie dat de meeste suikers geproduceerd door the Verenigde Staten, een soort siroop is gewonnen uit ‘corn‘(MAIS)? Deze siroop wordt door alle fastfood ketens gebruikt sinds 1985. Voedingswaarde van dat spul is zo goed als 0. Mais is een van de meest hybride gewassen die er bestaan. Reeds 40 miljoen hectare aan mais wordt verbouwd in de VS! Het is dan ook genetisch gemanipuleerd, tonnen pesticiden zijn er over gekapt, etc. Diabetes II dat vroeger heel zelden bij kinderen, komt nu in grote getallen voor. Het lijstje van criminele voedingsactiviteiten is oneindig. Zoals ‘Nutella’ van Ferrero (en jawel ook Ferrero Rocher is van hun) dat met palmolie wordt gemaakt. Heel der bossen moeten eraan geloven om aan de productie te voldoen. Heel erg…en we doen allemaal mee… GEWELDIG!!! Het boek staat vol tips voor een gezonder leven met respect voor de natuur.

 

Calculus preambule

Het is een tijdje geleden dat ik nog iets geblogd heb. Ik heb een tijdje nagedacht welke de beste manier zou zijn om calculus uit te leggen. Een manier met gebruik van infinitesimalen of met behulp van limieten. In school en universiteit gebruiken ze de limiet benadering. Misschien is dat ook wel de ‘beste’ manier. Het zal alleszins het beste aansluiten bij de huidige gang van zaken. Het concept limiet staat centraal in de calculus. Calculus heeft oneindig veel toepassingen, waaronder het beschrijven van de banen van planeten en ruimtetuigen, het voorspellen van de grootte van populaties, het berekenen van levensverzekeringspremies en zoveel meer.

De oude Grieken gebruikten al concepten die aanleunen bij de moderne definitie van een limiet. Differentiaal calculus is echter pas veel later ontstaan. Belangrijke bijdragen zijn geleverd door Pierre Fermat, John Wallis, Isaac Barrow, Isaac Newton and Gottfried Leibniz, allemaal ergens rond de 17de eeuw.

Het is echter pas in de 19de eeuw door Weierstrass ,dat calculus zijn huidige vorm heeft gekregen.

Calculus gaat vooral over veranderingen en bewegingen.

Volgende blogs ga ik waarschijnlijk proberen om uit te leggen wat een limiet is.

Het maakt een verschil die differentialen (1)

Ik dacht ik begin gewoon met differentialen zonder een uitleg over functies en limieten. In het middelbaar worden functies en limieten wel gegeven. Ik ben meer voor de infinitesimalen benadering, dan kunnen we de limieten achterwege laten. Zitten we nog met functies. Functie is een toverdoos, je steekt er iets in, je rammelt ermee en er komt iets anders uit. Het kan ook zijn dat je niet hard genoeg hebt gerammeld en dan komt gewoon terug eruit wat er in is gestoken. Wat is nu die f-van-x? Die f(x)? Wat is een ‘functievoorschrift’ en andere blabla? Eigenlijk neem je een willekeurig getal en haalt die door de functie en er komt iets anders uit. Dus ik heb x. Ik kies een getal vb 5. Ik zeg die 5 is nu x. Dan schiet er nog f( ) over. Aan f( ) beschrijft wat je met die 5 moet doen. Als je dat dan gedaan hebt krijg je een ander getal (soms ook het zelfde) en dat geven we dan een andere naam bv y. Dus dan hebben we f(x)=y. Stel y = x + 1, dan is f(5) = 6, want 6 = 5 + 1. Dan is er nog ‘met elke waarde van x komt 1 waarde van y overeen’. Voor 5 + 1 = 6 en niet ineens 7 of 100, het is maar 1 getal. Dus f(5) door x + 1 geeft enkel 6.

Voila ik denk dat dat genoeg is voor de uitleg van een functie. Je kan het ook beenhouwer-gewijs voorstellen: ik heb vlees en draai het door de vleesmolen en het is gehakt. Vleesmolen(vlees)=gehakt. Hier zie je de ‘f’, ‘(‘, ‘x’,  ‘)’,  ‘=’ en ‘y’. Vlees is dan onze x, de rest aan jouw om eens over na te denken.

De limieten kunnen we effe achterwegen laten, want dat maakt het in begin alleen maar lastiger.

Dus wat blijft er dan nog een verschil en een breuk. Een verschil is 5 – 6 = -1 en een breuk is een ratio een verhouden bv 3/4 oftewel 3 kwart. Het verschil zit in het woord differentiaal, differentie, verschil. De ratio, gaat over de ratio van toename of afname. Een verandering van snelheid bv.

Om al die dingen voor te stellen heeft o.a. René Descartes het kruis uitgevonden (of was dat iemand anders?). In ieder geval het assenstelsel van onze René is heel handig om een voorstelling te geven van een functie en een ratio. Hetgeen we in onze functie steken duiden we aan op de horizontale as (dus onze x van daarnet) aan, en hetgeen uit die functie komt duiden we op de verticale as aan (onze y). Waarom x en y? Dan zou ik zeggen waarom niet? Had evengoed ‘a’ en ‘b’ of ‘worst’ en ‘sosis’ kunnen zijn. Maar ja er is ooit iemand begonnen met x en y, dus kwestie van afspraak, ‘no big deal’.

Ik ben hier een beetje met de deur in huis gevallen, maar hopelijk wordt mijn volgende blog duidelijker.

Integralen, differentialen, limieten, …

Een onderwerp zoals analyse (Calculus in ’t Engels) zijn lastig om te onderwijzen. Ik heb ooit iemand horen zeggen dat calculus een ‘technologie’ is. Ik vond dat wel een terechte opmerking, want als je ziet waar die analyse allemaal wordt voor gebruikt. Het is een hele waslijst.

Veel zaken worden overgenomen door de computer tegenwoordig, dus de nood om effectief te weten hoe een differentiaal of een integraal wordt berekend, is eigenlijk minder groot dan in het verleden. Ik denk dat we tegenwoordig meer behoeften hebben om dingen op te lossen en minder zouden moeten bezig zijn me het schoonschrift van wiskunde. Wiskunde wordt teveel als een taal gezien. Het heeft kenmerken van een taal door de specifieke symbolen, maar het eigenlijk meer dan dat. In de eerste plaats is het een wetenschap.

In het verleden rekenden we ook met logaritmes, omdat het vermenigvuldigingen een stuk makkelijker maakte. \pi uitrekenen doet ook bijna niemand meer. Voor de een of andere reden is de tijd nog niet rijp om hetzelfde te doen met integralen, differentialen, limieten, etc. Waarom is dat eigenlijk? Je krijgt toch ook niet alleen de onderdelen van de auto als je hem koopt. Ik hoop dat we allemaal blij zijn dat de auto rijdt als we hem kopen? Een kind ga je toch ook niet uitleggen dat hij eerst grammatica moet leren vooraleer het mag spreken? Of tegen iemand die wil schilderen zeggen, ken jij eigenlijk wel de chemische samenstelling van u verf? Of tegen een violist zeggen dat hij eerst 5 jaar moet studeren om alles te weten over z’n viool?

Hierbij dan een poging om calculus verstaanbaar te maken. Ik ga een aantal delen bloggen over deze materie, misschien dat ik nog afwissel met wat lichtere stukken. Misschien dat ik differentiaal vergelijkingen en fourier er ook bij sleur. Kan wel zijn dat ik niet een bepaalde volgorde aanhoud, dus kan eerst integralen behandelen en dan bv functies of limieten. Ik ga ook proberen historische context erbij te voegen. Als ik dat zo schrijf lijkt me dat weer een onmogelijke opgave ;-). Was zo aan het denken dat oude methoden om zaken te berekenen of te schatten misschien ook wel een bijdrage kunnen leveren.  Om bv wortels te berekenen of logaritmen met de hand?

Mega interessante belevenis tijdens Impact

Met dank aan:

Ik wil hierbij Anja bedanken om me te introduceren bij Annick van Responsa. Ik wil Annick en de aanwezige kinderen/jong volwassenen bedanken voor een fijne zaterdag in de Axlandhoeve.

Met z’n alle een Wiske bewijs:

Ter plaatse dacht ik, misschien lukt dit wel. Ik had wel wat theoretische achtergrond, maar ik wist niet of het zou werken op de manier die ik in gedachten had. Een tijd geleden heb ik in deze blog scrum beschreven. Scrum is eigenlijk een methode of beter een kader waarbinnen je op een efficiënte wijze een project kunt beheren. Een onderdeel van die scrum is de ‘daily standup’, waarbij iedereen in een kring staat en een token rondgeeft. Diegene die het token heeft mag spreken.

Vrijdagavond had ik nog geen goed beeld van hoe ik nu zo een heterogene groep van kinderen/adolescenten 2 uur moest bezig houden. Toen dacht ik, alles loslaten diffuse denken en ontspannen. Toen kwam het idee om misschien te proberen de kinderen in een grote kringen te laten plaats nemen en hun een token te laten doorgeven. De mensen mochten pas praten als ze het token vast hadden. Dat lukte eigenlijk vrij aardig en iedereen was mee. Het token was een grote houten ster, die we ooit hadden meegekregen van een groot kerstfeest in Oostenrijk.

De eerste deel van de morgen hebben we ons voornamelijk bezig gehouden met de vraag wat voor ons allemaal wiskunde betekent. Ik heb echt geweldige antwoorden gekregen. De jongsten konden zich ook vinden in de vragen.

Het tweede deel was een echt in het diep springen voor mij en voor hun ook denk ik. We zaten weer in onze kring met de strenge voorwaarde om enkel te spreken als je het token had. Nu was er een opgave: De Stelling van Euclides bewijzen: ‘Er bestaan oneindig veel priemgetallen’. Het ging eigenlijk razendsnel en zonder het te beseffen zaten ze vrij snel in de goede richting. Verschillende opperden dat een bewijs uit het ongerijmde wel eens zou kunnen werken. Daarna werd er veel nagedacht over het begrip oneindigheid (wreed interessant!!!). Priem factoren passeerden de revue er werd gewezen op het asymptotisch gedrag dat er moest zijn. De ster had ook 5 punten, een priemgetal. Als toetje vertelde ik dat er in verband met priemgetallen nog een onopgelost vraagstuk bestond : De Rieman Hypothese. De persoon die deze stelling kan bewijzen kan 1 miljoen dollar verdienen. Dit is een prijs uitgeloofd door het Clay Mathematics Institute. Informatie hierover kan je vinden op volgende website Riemann Hypothesis

20170219_135400

 

Ik dacht nadien, amai wat een potentieel dat daar zit. EN DAN HEB IK HET OVER IEDEREEN DIE ER AANWEZIG WAS!!!

 

Ons Brein en Wiske

Denken en Wiske zijn onafscheidelijk met elkaar verbonden. Voor te denken hebben we ons brein nodig. Als we nieuwe dingen leren dan ontstaan er kleine elektrische stroompjes. Deze elektriekjes springen tussen de synapsen  in het brein en maken zo verbindingen tussen verschillende gebieden van het brein. Als je echt intens aan het leren bent  dan worden er meer permanente verbindingen gelegd. Dit betekent dat je het gene je leert, langer zult onthouden. Hieronder een afbeelding van zo een synaps.

synaps

Wetenschappers kregen een beter beeld van onze hersenen door het bestuderen van een hele bepaalde groep mensen. Als je misschien al eens in Londen bent geweest, heb je ze waarschijnlijk gezien ‘The Black Cab”. Wist je dat de bestuurders van deze taxi’s 2 tot 4 jarige opleiding volgen om alle straten, pleinen, gebouwen etc uit hun hoofd te leren? Deze mensen moeten een speciale test afleggen ‘The Knowledge’. The knowledge is een van de zwaarste testen die je je kunt indenken en de meesten moeten 12 keer herkansen om te slagen. Wetenschappers waren verbaasd over de spectaculaire toename van de hippocampus bij deze taxi chauffeurs. Dit is het gebied in het brein waar de ruimtelijke informatie wordt opgeslagen. Wanneer de chauffeurs met pension gingen verkleinde de hippocampus terug. Wetenschappers waren verbaast over de flexibiliteit van het menselijke brein.

Andere studies bevestigden de studie over de Londense taxi chauffeurs. Al deze studies toonden ook aan dat je niet met een wiskunde brein wordt geboren. Niemand wordt geboren met wiskundige kennis en iedereen kan wiskunde leren. De echte reden waarom de ene ‘beter’ is in wiskunde dan de andere, komt doordat we dat geloven. We geloven bv dat vrouwen slechter zijn in wiskunde dan mannen, we geloven dat je geboren bent met een wiskunde gen, we geloven dan je geboren bent met een bepaalde vaste intelligentie. Dus alle zinnen met ‘och ik kan het niet, want…’.

Wetenschapper maken nu het onderscheid tussen ‘fixed’ en ‘growth’ mindset. Misschien ben je die term al eens een keer tegengekomen, maar niet direct met betrekking tot wiskunde. Carol Dweck heeft dit concept ontwikkeld naar jarenlang onderzoek. Een ‘fixed mindset’ is waarbij je zelf gelooft dat je nu eenmaal geboren bent om nooit wiskunde te begrijpen. HEEL VEEL LEERKRACHTEN GEVEN SCHADELIJKE BOODSCHAPPEN NAAR KINDEREN IN DE KLAS, ZONDER DAT ZE DAT MISSCHIEN ZELF BESEFFEN. Voor hen zijn er alleen maar slimme en domme kinderen. Kinderen die aanleg hebben voor wiskunde en kinderen die dat niet hebben. Dit is een ‘fixed mindset’ .

Bij een ‘growth mindset’ denk je anders over jezelf. Je denkt dat door fouten te maken en daarvan te leren je hersenen zullen groeien. Je moet volhouden en niet opgeven na elke tegenslag. Ga uitdagingen niet uit de weg. Als je meer wil weten hierover dan kun je volgende tekst raadplegen in het nederlands Growth Mindset.

Voor literatuur over het leren van wiskunde voor kinderen, hun ouders en leerkrachten (Engels):

Jo Boaler : “Mathematical Mindsets: Unleashing Students’ Potential Through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching

 

Hoe wiskunde ontstaan is?

Goei vraag. Ik zou het niet weten. Wiskunde was er al voor ieder van ons geboren was. Wiskunde is dus al zeer oud. Als we willen weten hoe wiskunde is ontstaan, moeten we eerst bepalen wanneer wiskunde is ontstaan. Om het een beetje gemakkelijk te houden zeggen we het best dat wiskunde is ontstaan rond 600 jaar voor de geboorte van Christus. We hebben het dan over de wiskunde die nog steeds in de scholen wordt gegeven. Thales van Milete is dan de figuur en komt uit de streek van huidig Turkey.

lydiaancienttimeslydie

Naast de bijbel is ‘De Elementen’ van Euclides (300 voor Christus) het langslopende boek aller tijden. Je kunt het nog altijd bestellen via Amazon. Maar ‘hoe’ is dat nu ontstaan. Wel er was Euclides en die dacht van : er zijn zoveel mooie denk-dingen uitgedacht door de Grieken, Egyptenaren (Rhind Papyrus), Babyloniërs en al die andere oude volkeren, waarom zou ik er is geen boek over schrijven. Terwijl hij het boek aan het schrijven was, dacht hij bij zichzelf ‘is dat wel allemaal waar’ wat die Babyloniërs en Egyptenaren beweren? Hoe kan ik dat aantonen? Ik moet een manier vinden om te overtuigen dat het waar is. Ik moet een beetje structuur in die dingen krijgen. Als ik dat heb kan ik op die dingen verder denken, want wat ik voordien heb bewezen is waar. Zo bouwde hij een hele redenering op. Voorbeelden hiervan (wikipedia):

1. Dingen die aan een ander ding gelijk zijn, zijn ook aan elkaar gelijk.
(als A gelijk is aan C, en B is gelijk aan C, dan is A gelijk aan B)

2. Als men aan gelijke dingen gelijke dingen toevoegt, zijn de totalen ook gelijk.
(als A gelijk is aan B, dan is A+C gelijk aan B+C)

3. Als men van gelijke dingen gelijke dingen afneemt, zijn de resten ook gelijk.
(als A gelijk is aan B, dan is A-C gelijk aan B-C)

4. Dingen die met elkaar overeenkomen zijn gelijk.
(als figuur A op figuur B past, en figuur B op A past, dan zijn de figuren gelijk)

5. Het geheel is groter dan het deel.
(A+B is groter dan A)

Opmerking: A, B en C zijn strikt positief.

De oude Grieken zijn ook diegene die begonnen zijn met dingen te bewijzen. Die bewijzen waren voor hen een manier om iets als waar aan te nemen. Zoals je reeds vorige keer hebt gezien met het oneindig aantal priemgetallen. We kunnen in de wiskunde enkel iets als waar beschouwen als het ook bewezen is. Maar ook, we kunnen dingen gebruiken in ons bewijs die voordien al bewezen zijn. Dit is niet iets vreemd, want als je wil weten of iets waar is, dan probeer je van alles om jezelf er van te verzekeren. In het dagdagelijkse leven probeer je ook te achterhalen of iets waar is. Zou het waar zijn dat Marie een nieuw lief heeft? Zal het eens vragen aan Louisa, want dat is een vriendin van Marie. Die zegt dan, ik weet het eigenlijk niet, maar ik heb ze wel zien kussen met Jan. We hebben hier een aantal vermoedens, maar nog steeds geen bewijs dat Marie een nieuw lief heeft. Wiskunde gaat dus voornamelijk over denken. Niet direct denken over Marie, maar eerder over of iets groter is, of iets kleiner is, welke eigenschappen dat objecten bezitten, …

Wiskunde is er eigenlijk al zolang als de mens bestaat. We zijn het pas recent als wiskunde gaan benoemen. We kunnen misschien best naar de oorsprong van het woord gaan : máthēma het gene Grieks is voor studie, kennen en leren. Als we iets willen kennen, dan moeten we het bestuderen en leren we het kennen. We zijn dan vooral geïnteresseerd in hoeveelheden, structuren, ruimtes en veranderingen. Deze dingen gaan we proberen te vatten en neerschrijven in een vorm die minimaal is en verstaanbaar. Mensen hebben zich als sinds mensenheugenis vragen gesteld over hoeveel aardappelen krijg ik in mijn kar, hoeveel paarden heb ik nodig om die kar te trekken? Die paarden zijn te traag, kan ik misschien ze door iets anders vervangen? Zou ik geen boot kunnen maken die ook vaart als er geen wind is? Er waren er dan ook bij die zich afvroegen hoe het zit met de beweging van de planeten, waarom valt iets naar beneden en niet naar boven,  of hoe snel gaat het licht?

Dit alles is een vermoeden, maar geen bewijs hoe wiskunde is ontstaan.

 

En de vrouwen in de wiskunde?

Het gene wel met zekerheid kan gezegd worden: Hypatia een vrouw was en wiskundige en leefde in Alexandria 1600 jaar geleden. Als je meer wil weten over deze vrouw kan je de film ‘Agora’ met Rachel Weisz bekijken. Ze mocht lesgeven en was hoofd van de universiteit aldaar.

Andere vrouwen:
Sophie Germain (1776 – 1831)
Ada Lovelace (1815 – 1852)
Sofia Kovalevskaya (1850 – 1891)
Emmy Noether (1882 – 1935)

Waarom zo weinig vrouwen in het verleden wiskundigen waren? Simpel: ze hadden geen recht om te studeren. Wel in Alexandria rond het jaar 400, maar niet in België daar was het wachten tot 1880. Hoe zei John Lennon het  : ‘Woman Is The Nigger Of The World’ ?

 

Het vrije denken en Wiske of ‘another brick in the wall’

Ik herinner me van vroeger, dat de leerstof in de middelbare school niet hetgeen was dat me interesseerde. Ik ben niet de enige. Duizenden kinderen moeten denken zoals het in de school wordt aangeleerd. Voor mij werd het dan ook een sleur die school. Gelukkig kreeg ik wel wat dingen aangereikt thuis, m’n ouders waren nogal creatief. Ondanks dit alles was naar school gaan alleen interessant voor de mooie meisjes die er zaten en voor de rest kon me het langs geen kanten boeien. Later in den univ was het wel interessant. Niet alleen omdat je niet in de les aanwezig moest zijn, maar ook omdat als je meer te vertellen had dan er in de cursus stond, tijdens bv een mondeling examen, je daar ook voor werd beloond. Je kon je tijd zelf indelen en wanneer je behoefte had kon je naar de les. Een zalig systeem.

Je zou dan kunnen denken middelbare school is een noodzakelijk kwaad? Ja spijtig dat je daar dan 6 jaar van je leven voor moet opofferen?

Waarom heeft eigenlijk nog niemand gevraagd aan de kinderen hoe ze het schoolsysteem zouden willen hervormen?

Waarom verschijnen er altijd zo van die idiote oplossingen (zie Crevits onlangs)? Compleet naast de kwestie.

Hoe moet het dan wel. Ik zou zeggen ‘begin bij jezelf’. Neem zelf verantwoordelijkheid. Kom voor je mening uit, ook al wordt je er voor ‘gestraft’.

Hoe kan wiske je daarbij helpen? Wiske geeft de vrijheid om te denken. Wiske is niet 1 vraag = 1 oplossing. Wiske is vragen wat de moeite loont en zoveel mogelijk manieren om tot een oplossing te komen. De juist oplossing is niet het doel, maar leren van de wegen die naar de oplossing leiden. Je de vraag hardop in de les stellen: “waarom is dat zo?”. Praten met anderen over “waarom is dat zo?”. Het is aan jezelf om er iets aan te doen. Laat de juffrouwen en de heren wiskunde je maar eens te goei uitleggen waarom dingen zo zijn. Maak een wiske groep, probeer slimmer te worden dan de leerkracht (het gene niet echt moeilijk is). Je zult zien als je je verenigd beste kinderen en ouders, dan kan je er samen iets aan doen. Waarom werkt de stelling van Pythagoras al zolang? Waarom is Thales zo belangrijk? Waarom is Newton zo belangrijk?  Vooral omdat ze anders dachten dan de anderen en dat kunnen jullie ook.

Dus 1 opdracht voor jezelf: vraag je hardop af, zodat iedereen het kan horen : “WAAROM IS DAT ZO?”. Wat voor stomme opmerkingen kan je dan verwachten van domme leerkrachten:

“Alle ge hebt weer niet opgelet zeker”

“Ge zou beter opletten, als ik iets uitleg”

“Wat voor een domme vraag is dat nu weer”

“Wie in de klas heeft het ook niet begrepen?”

Je kan waarschijnlijk zelf het lijstje compleet maken met andere fraaie zinnetjes.

Let op: de ‘slimme’ kinderen, zijn eigenlijk de kinderen die zeggen wat de leerkracht wil horen. Het is nog maar de vraag of dat eigenlijk wel slim is ;-).