Mega interessante belevenis tijdens Impact

Met dank aan:

Ik wil hierbij Anja bedanken om me te introduceren bij Annick van Responsa. Ik wil Annick en de aanwezige kinderen/jong volwassenen bedanken voor een fijne zaterdag in de Axlandhoeve.

Met z’n alle een Wiske bewijs:

Ter plaatse dacht ik, misschien lukt dit wel. Ik had wel wat theoretische achtergrond, maar ik wist niet of het zou werken op de manier die ik in gedachten had. Een tijd geleden heb ik in deze blog scrum beschreven. Scrum is eigenlijk een methode of beter een kader waarbinnen je op een efficiënte wijze een project kunt beheren. Een onderdeel van die scrum is de ‘daily standup’, waarbij iedereen in een kring staat en een token rondgeeft. Diegene die het token heeft mag spreken.

Vrijdagavond had ik nog geen goed beeld van hoe ik nu zo een heterogene groep van kinderen/adolescenten 2 uur moest bezig houden. Toen dacht ik, alles loslaten diffuse denken en ontspannen. Toen kwam het idee om misschien te proberen de kinderen in een grote kringen te laten plaats nemen en hun een token te laten doorgeven. De mensen mochten pas praten als ze het token vast hadden. Dat lukte eigenlijk vrij aardig en iedereen was mee. Het token was een grote houten ster, die we ooit hadden meegekregen van een groot kerstfeest in Oostenrijk.

De eerste deel van de morgen hebben we ons voornamelijk bezig gehouden met de vraag wat voor ons allemaal wiskunde betekent. Ik heb echt geweldige antwoorden gekregen. De jongsten konden zich ook vinden in de vragen.

Het tweede deel was een echt in het diep springen voor mij en voor hun ook denk ik. We zaten weer in onze kring met de strenge voorwaarde om enkel te spreken als je het token had. Nu was er een opgave: De Stelling van Euclides bewijzen: ‘Er bestaan oneindig veel priemgetallen’. Het ging eigenlijk razendsnel en zonder het te beseffen zaten ze vrij snel in de goede richting. Verschillende opperden dat een bewijs uit het ongerijmde wel eens zou kunnen werken. Daarna werd er veel nagedacht over het begrip oneindigheid (wreed interessant!!!). Priem factoren passeerden de revue er werd gewezen op het asymptotisch gedrag dat er moest zijn. De ster had ook 5 punten, een priemgetal. Als toetje vertelde ik dat er in verband met priemgetallen nog een onopgelost vraagstuk bestond : De Rieman Hypothese. De persoon die deze stelling kan bewijzen kan 1 miljoen dollar verdienen. Dit is een prijs uitgeloofd door het Clay Mathematics Institute. Informatie hierover kan je vinden op volgende website Riemann Hypothesis

20170219_135400

 

Ik dacht nadien, amai wat een potentieel dat daar zit. EN DAN HEB IK HET OVER IEDEREEN DIE ER AANWEZIG WAS!!!

 

Ons Brein en Wiske

Denken en Wiske zijn onafscheidelijk met elkaar verbonden. Voor te denken hebben we ons brein nodig. Als we nieuwe dingen leren dan ontstaan er kleine elektrische stroompjes. Deze elektriekjes springen tussen de synapsen  in het brein en maken zo verbindingen tussen verschillende gebieden van het brein. Als je echt intens aan het leren bent  dan worden er meer permanente verbindingen gelegd. Dit betekent dat je het gene je leert, langer zult onthouden. Hieronder een afbeelding van zo een synaps.

synaps

Wetenschappers kregen een beter beeld van onze hersenen door het bestuderen van een hele bepaalde groep mensen. Als je misschien al eens in Londen bent geweest, heb je ze waarschijnlijk gezien ‘The Black Cab”. Wist je dat de bestuurders van deze taxi’s 2 tot 4 jarige opleiding volgen om alle straten, pleinen, gebouwen etc uit hun hoofd te leren? Deze mensen moeten een speciale test afleggen ‘The Knowledge’. The knowledge is een van de zwaarste testen die je je kunt indenken en de meesten moeten 12 keer herkansen om te slagen. Wetenschappers waren verbaasd over de spectaculaire toename van de hippocampus bij deze taxi chauffeurs. Dit is het gebied in het brein waar de ruimtelijke informatie wordt opgeslagen. Wanneer de chauffeurs met pension gingen verkleinde de hippocampus terug. Wetenschappers waren verbaast over de flexibiliteit van het menselijke brein.

Andere studies bevestigden de studie over de Londense taxi chauffeurs. Al deze studies toonden ook aan dat je niet met een wiskunde brein wordt geboren. Niemand wordt geboren met wiskundige kennis en iedereen kan wiskunde leren. De echte reden waarom de ene ‘beter’ is in wiskunde dan de andere, komt doordat we dat geloven. We geloven bv dat vrouwen slechter zijn in wiskunde dan mannen, we geloven dat je geboren bent met een wiskunde gen, we geloven dan je geboren bent met een bepaalde vaste intelligentie. Dus alle zinnen met ‘och ik kan het niet, want…’.

Wetenschapper maken nu het onderscheid tussen ‘fixed’ en ‘growth’ mindset. Misschien ben je die term al eens een keer tegengekomen, maar niet direct met betrekking tot wiskunde. Carol Dweck heeft dit concept ontwikkeld naar jarenlang onderzoek. Een ‘fixed mindset’ is waarbij je zelf gelooft dat je nu eenmaal geboren bent om nooit wiskunde te begrijpen. HEEL VEEL LEERKRACHTEN GEVEN SCHADELIJKE BOODSCHAPPEN NAAR KINDEREN IN DE KLAS, ZONDER DAT ZE DAT MISSCHIEN ZELF BESEFFEN. Voor hen zijn er alleen maar slimme en domme kinderen. Kinderen die aanleg hebben voor wiskunde en kinderen die dat niet hebben. Dit is een ‘fixed mindset’ .

Bij een ‘growth mindset’ denk je anders over jezelf. Je denkt dat door fouten te maken en daarvan te leren je hersenen zullen groeien. Je moet volhouden en niet opgeven na elke tegenslag. Ga uitdagingen niet uit de weg. Als je meer wil weten hierover dan kun je volgende tekst raadplegen in het nederlands Growth Mindset.

Voor literatuur over het leren van wiskunde voor kinderen, hun ouders en leerkrachten (Engels):

Jo Boaler : “Mathematical Mindsets: Unleashing Students’ Potential Through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching

 

Hoe wiskunde ontstaan is?

Goei vraag. Ik zou het niet weten. Wiskunde was er al voor ieder van ons geboren was. Wiskunde is dus al zeer oud. Als we willen weten hoe wiskunde is ontstaan, moeten we eerst bepalen wanneer wiskunde is ontstaan. Om het een beetje gemakkelijk te houden zeggen we het best dat wiskunde is ontstaan rond 600 jaar voor de geboorte van Christus. We hebben het dan over de wiskunde die nog steeds in de scholen wordt gegeven. Thales van Milete is dan de figuur en komt uit de streek van huidig Turkey.

lydiaancienttimeslydie

Naast de bijbel is ‘De Elementen’ van Euclides (300 voor Christus) het langslopende boek aller tijden. Je kunt het nog altijd bestellen via Amazon. Maar ‘hoe’ is dat nu ontstaan. Wel er was Euclides en die dacht van : er zijn zoveel mooie denk-dingen uitgedacht door de Grieken, Egyptenaren (Rhind Papyrus), Babyloniërs en al die andere oude volkeren, waarom zou ik er is geen boek over schrijven. Terwijl hij het boek aan het schrijven was, dacht hij bij zichzelf ‘is dat wel allemaal waar’ wat die Babyloniërs en Egyptenaren beweren? Hoe kan ik dat aantonen? Ik moet een manier vinden om te overtuigen dat het waar is. Ik moet een beetje structuur in die dingen krijgen. Als ik dat heb kan ik op die dingen verder denken, want wat ik voordien heb bewezen is waar. Zo bouwde hij een hele redenering op. Voorbeelden hiervan (wikipedia):

1. Dingen die aan een ander ding gelijk zijn, zijn ook aan elkaar gelijk.
(als A gelijk is aan C, en B is gelijk aan C, dan is A gelijk aan B)

2. Als men aan gelijke dingen gelijke dingen toevoegt, zijn de totalen ook gelijk.
(als A gelijk is aan B, dan is A+C gelijk aan B+C)

3. Als men van gelijke dingen gelijke dingen afneemt, zijn de resten ook gelijk.
(als A gelijk is aan B, dan is A-C gelijk aan B-C)

4. Dingen die met elkaar overeenkomen zijn gelijk.
(als figuur A op figuur B past, en figuur B op A past, dan zijn de figuren gelijk)

5. Het geheel is groter dan het deel.
(A+B is groter dan A)

Opmerking: A, B en C zijn strikt positief.

De oude Grieken zijn ook diegene die begonnen zijn met dingen te bewijzen. Die bewijzen waren voor hen een manier om iets als waar aan te nemen. Zoals je reeds vorige keer hebt gezien met het oneindig aantal priemgetallen. We kunnen in de wiskunde enkel iets als waar beschouwen als het ook bewezen is. Maar ook, we kunnen dingen gebruiken in ons bewijs die voordien al bewezen zijn. Dit is niet iets vreemd, want als je wil weten of iets waar is, dan probeer je van alles om jezelf er van te verzekeren. In het dagdagelijkse leven probeer je ook te achterhalen of iets waar is. Zou het waar zijn dat Marie een nieuw lief heeft? Zal het eens vragen aan Louisa, want dat is een vriendin van Marie. Die zegt dan, ik weet het eigenlijk niet, maar ik heb ze wel zien kussen met Jan. We hebben hier een aantal vermoedens, maar nog steeds geen bewijs dat Marie een nieuw lief heeft. Wiskunde gaat dus voornamelijk over denken. Niet direct denken over Marie, maar eerder over of iets groter is, of iets kleiner is, welke eigenschappen dat objecten bezitten, …

Wiskunde is er eigenlijk al zolang als de mens bestaat. We zijn het pas recent als wiskunde gaan benoemen. We kunnen misschien best naar de oorsprong van het woord gaan : máthēma het gene Grieks is voor studie, kennen en leren. Als we iets willen kennen, dan moeten we het bestuderen en leren we het kennen. We zijn dan vooral geïnteresseerd in hoeveelheden, structuren, ruimtes en veranderingen. Deze dingen gaan we proberen te vatten en neerschrijven in een vorm die minimaal is en verstaanbaar. Mensen hebben zich als sinds mensenheugenis vragen gesteld over hoeveel aardappelen krijg ik in mijn kar, hoeveel paarden heb ik nodig om die kar te trekken? Die paarden zijn te traag, kan ik misschien ze door iets anders vervangen? Zou ik geen boot kunnen maken die ook vaart als er geen wind is? Er waren er dan ook bij die zich afvroegen hoe het zit met de beweging van de planeten, waarom valt iets naar beneden en niet naar boven,  of hoe snel gaat het licht?

Dit alles is een vermoeden, maar geen bewijs hoe wiskunde is ontstaan.

 

En de vrouwen in de wiskunde?

Het gene wel met zekerheid kan gezegd worden: Hypatia een vrouw was en wiskundige en leefde in Alexandria 1600 jaar geleden. Als je meer wil weten over deze vrouw kan je de film ‘Agora’ met Rachel Weisz bekijken. Ze mocht lesgeven en was hoofd van de universiteit aldaar.

Andere vrouwen:
Sophie Germain (1776 – 1831)
Ada Lovelace (1815 – 1852)
Sofia Kovalevskaya (1850 – 1891)
Emmy Noether (1882 – 1935)

Waarom zo weinig vrouwen in het verleden wiskundigen waren? Simpel: ze hadden geen recht om te studeren. Wel in Alexandria rond het jaar 400, maar niet in België daar was het wachten tot 1880. Hoe zei John Lennon het  : ‘Woman Is The Nigger Of The World’ ?

 

Het vrije denken en Wiske of ‘another brick in the wall’

Ik herinner me van vroeger, dat de leerstof in de middelbare school niet hetgeen was dat me interesseerde. Ik ben niet de enige. Duizenden kinderen moeten denken zoals het in de school wordt aangeleerd. Voor mij werd het dan ook een sleur die school. Gelukkig kreeg ik wel wat dingen aangereikt thuis, m’n ouders waren nogal creatief. Ondanks dit alles was naar school gaan alleen interessant voor de mooie meisjes die er zaten en voor de rest kon me het langs geen kanten boeien. Later in den univ was het wel interessant. Niet alleen omdat je niet in de les aanwezig moest zijn, maar ook omdat als je meer te vertellen had dan er in de cursus stond, tijdens bv een mondeling examen, je daar ook voor werd beloond. Je kon je tijd zelf indelen en wanneer je behoefte had kon je naar de les. Een zalig systeem.

Je zou dan kunnen denken middelbare school is een noodzakelijk kwaad? Ja spijtig dat je daar dan 6 jaar van je leven voor moet opofferen?

Waarom heeft eigenlijk nog niemand gevraagd aan de kinderen hoe ze het schoolsysteem zouden willen hervormen?

Waarom verschijnen er altijd zo van die idiote oplossingen (zie Crevits onlangs)? Compleet naast de kwestie.

Hoe moet het dan wel. Ik zou zeggen ‘begin bij jezelf’. Neem zelf verantwoordelijkheid. Kom voor je mening uit, ook al wordt je er voor ‘gestraft’.

Hoe kan wiske je daarbij helpen? Wiske geeft de vrijheid om te denken. Wiske is niet 1 vraag = 1 oplossing. Wiske is vragen wat de moeite loont en zoveel mogelijk manieren om tot een oplossing te komen. De juist oplossing is niet het doel, maar leren van de wegen die naar de oplossing leiden. Je de vraag hardop in de les stellen: “waarom is dat zo?”. Praten met anderen over “waarom is dat zo?”. Het is aan jezelf om er iets aan te doen. Laat de juffrouwen en de heren wiskunde je maar eens te goei uitleggen waarom dingen zo zijn. Maak een wiske groep, probeer slimmer te worden dan de leerkracht (het gene niet echt moeilijk is). Je zult zien als je je verenigd beste kinderen en ouders, dan kan je er samen iets aan doen. Waarom werkt de stelling van Pythagoras al zolang? Waarom is Thales zo belangrijk? Waarom is Newton zo belangrijk?  Vooral omdat ze anders dachten dan de anderen en dat kunnen jullie ook.

Dus 1 opdracht voor jezelf: vraag je hardop af, zodat iedereen het kan horen : “WAAROM IS DAT ZO?”. Wat voor stomme opmerkingen kan je dan verwachten van domme leerkrachten:

“Alle ge hebt weer niet opgelet zeker”

“Ge zou beter opletten, als ik iets uitleg”

“Wat voor een domme vraag is dat nu weer”

“Wie in de klas heeft het ook niet begrepen?”

Je kan waarschijnlijk zelf het lijstje compleet maken met andere fraaie zinnetjes.

Let op: de ‘slimme’ kinderen, zijn eigenlijk de kinderen die zeggen wat de leerkracht wil horen. Het is nog maar de vraag of dat eigenlijk wel slim is ;-).

(Priem)Getallen van Euclides

Getallentheorie is een belangrijk onderdeel van de wiskunde. De basis is gelegd door Euclides. Weeral een Griek. Iemand die een paar duizend jaar geleden leefde. Euclides heeft een van de belangrijkste werken uit de geschiedenis geproduceerd : ‘Elementen’. Dit boek is nog steeds verkrijgbaar bv bij Amazon. In één van de onderdelen staat een belangrijke stelling mbt de getallentheorie. In boek 9 propositie 20 staat dat ‘de verzameling priemgetallen oneindig is’.

Wat is een priem getal? Is een getal dat enkel deelbaar is door 1 en zichzelf: 2,3,5,7,11,enz. Het kleinste priemgetal is 2. Het grootste priemgetal? Wel aangezien de verzameling oneindig is worden er regelmatig heel grote priemgetallen gevonden.

Probleem met die priemgetallen? Wel we weten dat ze bestaan, maar we kunnen ze niet exact voorspellen. Bij kleine getallen kunnen we dat gemakkelijk nagaan: 2,3,5,7,11,13,17,19,…509,…907,… Bij grote getallen wordt dat wel moeilijker bv 274,207,281 − 1 is dit een priemgetal? Wel blijkt dat dit voorlopig het grootste is. Is een getal met 22338618 aantal cijfers.

Hoe weten we nu dat er een oneindig aantal priemgetallen bestaan? Euclides heeft daar nen schonen truck voor gevonden. Het is een bewijs uit het ‘ongerijmde’. Een uitspraak die een contradictie bevat. Het vertrekt van iets waar aan te nemen en dan wordt aangetoond dat het eigenlijk niet waar is. Zo ook bij het bewijs van Euclides wordt er eerst aangenomen dat er maar een eindig aantal priemgetallen bestaan. Door een redenering op deze stelling lost te laten wordt dan aangetoond dat dat eigenlijk niet kan. Deze handelswijze/denkwijze berust op een afspraak dat een stelling ofwel waar is ofwel onwaar. Dus wiskunde is een beetje onverdraagzaam eigenlijk. Daarmee ook dat er zo weinig sympathieke leerkrachten wiskunde bestaan ;-). Gelukkig is de verzameling ‘onsympathieke leerkrachten wiskunde’ een eindige verzameling. Stel je voor dat die verzameling oneindig was? ;-).

Terug naar Euclides en z’n priemgetallen. Een ander heel belangrijk weetje voor het bewijs is weten dat elk natuurlijk getal kan worden geschreven als een product (vermenigvuldiging) van priemgetallen. vb 26 = 2 * 13, 27 = 3 * 3 * 3, 80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5, enz. Nog een ander belangrijk weetje is als je bij een getal + 1 bijtelt dan is dat getal ofwel priem of wel niet priem (composietgetallen = getallen samengesteld uit andere (priem)getallen). Een voorbeeld 22 = 2 * 11. Als je nu 22 + 1 doet, dan geeft dat 23 en 23 is een priemgetal. Een ander getal 26 = 2 * 13. Als je bij 26 een 1 optelt dan krijgt ge 27 = 3 * 3 * 3, hetgeen geen priemgetal is. Nog een weetje is dat de vermenigvuldiging om tot getallen te komen uniek is. D.w.z. 2 * 2 * 2 * 2 * 5 is enkel 80 en niet iets anders. Je kan geen andere combinatie PRIEMGETALLEN vinden die 80 op een andere manier samenstelt. Verder is er nog de deelbaarheid. We gaan hier van opgaande deelbaarheid uit. Van delingen die geen resten veroorzaken. Dus de priemdelers van 80 zijn 2 en 5. Van 26 zijn 2 en 13, etc etc. Al deze delingen zijn opgaand, er zijn geen resten.

Zo en nu heel kort het bewijs:

Uitspraak : er bestaat een eindig aantal priemgetallen.

Bewijs:

Neem al deze priemgetallen en vermenigvuldig ze en noem het getal N.
Als je nu bij N één optelt, dus N + 1, krijg je een getal dat groter is dan N.
Volgens onze weetjes (zie hoger) kan N + 1, ofwel priem zijn ofwel composiet (samengesteld uit andere getallen).
Als het een priemgetal is, dan is dat een nieuw priemgetal dat niet in onze oorspronkelijke verzameling zat. Dit toont aan dat er meer priemgetallen zijn dan we in eerste instantie aannamen (zie Uitspraak). Dit is een contradictie, dus de uitspraak ‘er bestaat een eindig aantal priemgetallen’ is niet waar. Hieruit kunnen we besluiten dat er oneindig aantal priemgetallen bestaan.

Als een simpel  voorbeeld van dit bewijs. Ik denk dat er maar 2 priemgetallen zijn nl 2 en 11. Als je ze vermenigvuldigd dan krijg ik 22. Ik zeg nu N = 22. Nu tel ik bij N één op; N + 1 = 23. 23 is een priemgetal en het is een ander priemgetal dan 2 en 11. Als ik dat lang genoeg blijf herhalen (tot in de eeuwigheid), zal ik altijd nieuwe priemgetallen vinden. Zo heeft men vorige jaar 274,207,281 − 1 gevonden. Google maar eens naar ‘Great Internet Mersenne Prime Search’.

Voila, als er een fout in zit dan hoor ik het graag. Fouten maken daar moet ge lef voor hebben en het is nog gezond ook, want je hersenen groeien ervan. Niet verder vertellen he?

Piramide van blokken

Deze keer eens een volbloed wiske voorbeeld. We gaan berekenen hoe we een grote piramide kunnen bouwen met blokken. Het is een zogenaamde trappenpiramide.

We beginnen bij de top en gaan dan zo naar beneden. Ons bouwmateriaal bestaat uit volgend Legoblokje:

legoblokje

Om de verhoudingen beter te begrijpen, gaan we eerst het probleem verkleinen. We beginnen dus met een kleine piramide bestaande uit de Legoblokjes zoals in bovenstaande afbeelding. Een kleine piramide ziet er dan als volgt uit:

legopiramide

Om onze piramide te kunnen bouwen moeten we weten hoeveel stenen we nodig hebben. In het bovenstaande geval kunnen we die makkelijk tellen. Bovenaan staat er 1, dan 4 en onderaan hebben we er 9. Dit geeft een totaal van 1 + 4 + 9 = 14 Legoblokjes. We hebben nu een piramide met 3 niveaus. Stel dat we een piramide van 20 niveaus willen, hoeveel stenen hebben we dan nodig? Ja dat is andere koek! We zullen eerst eens bekijken of we geen gemakkelijke manier vinden om de ‘groei’ van onze piramide te beschrijven. We zouden bijvoorbeeld de bollen kunnen tellen van alle stenen. Zo heeft elk blokje 4 bolletjes. Een bovenaanzicht van de trappenpiramide:

topviewlegopiramide

In navolging van ons voorbeeld kunnen we zeggen dat de gele piramide op Geval 3 lijkt als je er van boven op kijkt. We kunnen ook het aantal bollen tellen. De som van de gele piramide is gelijk aan het aantal bollen van Geval 1 + Geval 2 + Geval 3. We merken op dat het resultaat een veelvoud zal zijn van 4.  Geval 1 is een piramide van 1 steen met 4 bollen. Piramide 2 is de steen van geval 1 (4 bollen) + de stenen van het grondvlak van geval 2 (4 x 4 bollen). Piramide 3 (de gele piramide) is dan het aantal stenen van piramide 2 (4 + (4 x 4) bollen) + aantal stenen van grondvlak 3 ( 9 x 4 bollen). Als je vind dat het aantal bollen tellen te omslachtig is, dan kan je ook gewoon de stenen tellen. Aan jou de keuze.

Nu is het aan jullie: hoeveel Legoblokjes hebben we nodig voor een Legopiramide van 20 hoog? Kan je een formule vinden, die je gemakkelijk laat zien hoeveel stenen een piramide van 100 hoog heeft? Kan je ook zeggen als je er van boven op neer kijkt hoeveel bollen je zal zien bij een piramide van 100 hoog?

 

Vierkantsvergelijking en etno-wiske

Als voorbeeld nemen we de formule voor het oplossen van een vierkantsvergelijking. De uitwerking van deze vierkantsvergelijking was al gekend door de Hindoes in 1025. Als eerste gaan we zien hoe dit wordt onderwezen in het middelbaar.

Het gaat hierbij over volgende vergelijking: x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Uitgangspunt is de vorm :  ax^2 + bx + c = 0

1- Volgende stappen zoals in de scholen nog steeds wordt onderwezen:

  • delen door a:  x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
  • \frac{c}{a} aftrekken van beide leden:  x^2 + \frac{b}{a}x =-\frac{c}{a}
  • kwadraat vervolledigen d.m.v. (\frac{b}{2a})^2 in beide leden op te tellen  :  x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2
  • uitwerken van rechterlid:  x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
  • op gelijke noemer zetten van het rechterlid:  x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
  • kwadraat in linkerlid als product schrijven:  (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
  • we kunnen nu de wortel trekken van beide leden: x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{4a^2}
  • in de vorm van x schrijven:   x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

2- Volgende stappen zoals in 1025 door Hindoes uitgewerkt:

  • ax^2 + bx + c = 0
  • 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 (vermenigvuldig met 4a)
  • 4a^2x^2 + 4abx = - 4ac
  • 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac (tel bij elk lid b^2 op)
  • (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac
  • 2ax + b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac} (trek vierkantswortel)
  • 2ax = -b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}
  • x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

 

Conclusie: Eigenlijk is de uitwerking van de Hindoes in 1025 eenvoudiger. Dit uit zich vooral in de afwezigheid van de breuk \frac{b}{2a} in de tweede methode. De Hindoes doen het met b te kwadrateren en vereenvoudigen de factoren hierdoor. Het ziet er ook minder ingewikkeld uit en ook eleganter. Deze formule werd herontdekt door Larry Hoehn in 1975. Waarom deze formule dan nooit is gebruikt in schoolboeken? Een ander voorbeeld van eenzijdige visie is het verhaal van Ramanujan in de populaire film ‘The Man Who Knew Infinity”. De context komt naar boven, hier hebben we een voorbeeld van een andere cultuur en geschiedenis. Hierbij moeten we ook vermelden, dat Simon Stevin in 1594 een belangrijke bijdrage leverde. De huidige uitwerking zoals in puntje 1 is afkomstig uit ‘La Géométrie’ (1637) van René Descartes. Spijtig dat we niet meer openstaan voor wiske uit andere culturen.

Context

Context is volgens mij belangrijk als je wiske wil overbrengen. In het huidige wiskunde curriculum is er geen plaats voor andere contexten, dan deze die volledig ontmenselijkt, ‘objectief’ en ‘exact’ zijn. Wiskunde wordt gegeven alsof het een geschenk is van god. Nochtans zijn we meer met wiske bezig dan we zelf vermoeden.Een ‘Geschenk’ zou het in ieder geval moeten zijn, doch bijna niemand ervaart dit zo. Ik zou het eerder een straf van god noemen. Je zou bijna kunnen denken dat je tot de goden behoort als je maar iets van die wiskunde snapt. Wiskunde vervangt dan ook het latijn. Om tot het selecte groepje te behoren van intellectuelen, moest je vroeger latijn kennen. Alle belangrijke wetenschappelijke werken, werden in het latijn geschreven ( bv ‘Philosophiae Naturalis Principia Mathematica’). De bijbels werden ook in het latijn gedrukt en missen werden in het latijn gegeven. Het beste was dat het gepeupel niet verstond wat er eigenlijk in de bijbel stond. Ik kan me niet van de indruk ontdoen, dat wiskunde het nieuwe latijn is. Wiskunde wordt naar mijn aanvoelen teveel gebruikt als selectiemechanisme in het onderwijs. Niemand wil daar tegen reageren, we vinden dat allemaal normaal? De mensen zijn bang om daar tegen te reageren, omdat ze er geen snars van begrijpen en als dom versleten zouden kunnen worden. Niemand is graag de dommerik, toch? Ik geloof in wiske dat meer aanleunt bij de samenleving. Wiske bevat daarom ook een manier van onderwijs die niet beledigend is voor de medemens. Wiske heeft oog voor dialoog en denkt dat filosofie daar een belangrijke rol in kan spelen. Daarnaast heeft wiske een hele lange geschiedenis en zou het spijtig zijn als deze niet wordt gebruikt in het onderwijzen ervan. Om tolerantie en gemeenschapsgevoel te verrijken bevat wiske aspecten van etno-wiske. Wiske wordt dus geen contextvrij onderwerp, maar een menselijk ondernemen. Wiske is des mensen. Wiske is zoals de mensen, onzeker, ploeterend, vrij, verbindend, alles wat des mensen is.

 

Een voorbeeld:

Algebra is niet iets dat door Europeanen is ontdekt of uitgevonden. Eerder werken als “Hisab Al-Jabr wal Mugabalah” door Mukhammad al-Korezmi hebben daar een heel belangrijke bijdrage in gehad. Deze werken werden ingevoerd in Europa door Leonardo Pisano en verduidelijkt in zijn boek “Liber Abaci”. Leonardo Pisano ofwel beter bekend onder Fibonacci. Liber Abaci heeft bijgedragen tot de culturele/commerciële voorsprong en bloei van Italië.

De geboorte van Algebra

Tot een volgende!

Hulpmiddelen

Een belangrijk hulpmiddel bij leren van wiske, is o.a. Mathematica. Dit is een tool die op je computer kan geïnstalleerd worden en waarmee je vrijwel elk wiske probleem kan oplossen. Het enige nadeel is dat je ervoor moet betalen. Na wat zoeken op het internet heb ik een alternatief gevonden, dat gratis is en bijna zo goed als Mathematica: SageMath

SageMath is een goed  alternatief voor commerciële pakketten zoals Maple, Mathematica, Magma, and MATLAB. Een probleem is dat je het enkel op Linux kan installeren ofwel via een virtuele machine op VirtualBox op Windows. Dit is allemaal redelijk omslachtig. Gelukkig bestaat er ook SageMath in the cloud : SageMath in the Cloud

Je kan inloggen met verschillende accounts zoals google en facebook.

Als voorbeeld gaan we een vierkantsvergelijking oplossen met behulp van SageMath : x^2 + 3x + 2 = 0. In onderstaand filmpje wordt getoond hoe je het moet doen met SageMath. Om een oplossing te genereren druk op ‘Run’ ofwel gebruik je de toetsenbord combinatie <shift><enter>. Veel plezier en bekijk ook eens de Tutorial met het voorbeeld.

 

 

Demystificatie en Deconstructie

Weet niet of je de opdrachten in de vorige blog hebt willen proberen? Al eens nagedacht waarom je het niet hebt gedaan? Al eens nagedacht waarom je het zo snel opgeeft? Met schoolse wiskunde ga je dat misschien wel kunnen oplossen, maar waarschijnlijk begrijp je niet hoe het werkt. School leert ons helemaal niet hoe je dat moet oplossen, je moet dat zelf leren door meer in wiske te geloven. Meer in wiske geloven en minder in wiskunde.

De school leert ons in de eerste plaats regeltjes te volgen. Als je succesvol wilt zijn, en dat mag je zelf invullen wat dat betekent voor jou, moet je vooral niet doen wat er gevraagd wordt. Het is eigenlijk een verantwoordelijkheid nemen voor jezelf. Wil je dat de school een slaafje van je maakt of wil je iets anders. Je moet zelf de stap zetten, omdat niemand dat voor je zal doen. De bedoeling is niet dat je aan alles je voeten begint te vegen, maar dat je verantwoordelijkheid opneemt voor je beslissingen.

Wat je misschien kan helpen is Demystificatie en Deconstructie. Als je Deconstructie toepast en daar moet je zelf moeite voor doen, dan zal het mysterie opgehelderd worden. Je denkwijze zal niet meer gehinderd worden door slaafse regeltjes. Deconstructie is het uit elkaar halen van een tekst als je de echte betekenis wil achterhalen. Ik ben geen filosoof, maar ik heb eens iets gelezen over het werk van ‘Jacques Derrida’ de ‘uitvinder’ ‘ontdekker’ van de deconstructie. Hij heeft een herlezing gedaan van een aantal filosofische werken.

Deconstructie kunnen we ook doen bij het leren van wiskunde. Een voorbeeld: 2 + a < 2a. We moeten dit bekijken door voorbeelden te bedenken dit dit bevestigen of tegenspreken. We moeten eerst en vooral te weten komen wat in godsnaam die a wil zeggen. Buiten dat het de eerste letter van het alfabet is kunnen we er eigenlijk niks over zeggen. Een chinees zou al niet weten waarover het gaat, want die kennen ons alfabet niet. Die 2 en die + is een kleiner mysterie voor de chinees denk ik.

Ok we hebben met 2 + a < 2a al een miljard mensen uitgesloten, goe bezig zou ik zeggen :-). Gelukkig voor ons leven we in niet-china en zijn we geen chinezen. Als je nu een wiske chinees en een wiske niet-chinees met elkaar laat babbelen, dan kunnen ze elkaar wel verstaan en begrijpen ze wat er staat. Ze gaan dan ook beginnen discussiëren over die a, nochtans komt dat niet voor in het chinees alfabet.

Hoe kan ik in godsnaam een a optellen bij 2 ? Wat kan ik dan wel optellen bij 2? Wel ik zou zeggen een ander getal? 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3, 2 + 100, 2 + 3,1415, enz. Simpel. Als ik 2 + a bekijk heeft dat dezelfde vorm ( of patroon ) dan 2 + 1. Je hebt een ‘2’, je hebt een ‘+’ en wat volgt is anders. Zou het niet gemakkelijk zijn om ipv al die mogelijkheden zoals  2 + 1, 2 + 2, 2 + 3, 2 + 100, 2 + 3,1415, enz wat algemener op te schrijven?

Het is belangrijk om te weten dat je de vrijheid hebt om een andere letter te nemen. Als je liever de voorletter van je voornaam neemt dan mag jij dat doen. Geen enkele wet in de wereld verbiedt het gebruik van een andere letter. Dus als jij liever een J gebruikt dan mag je dat doen. Als jij liever een woord gebruikt dan mag je dat doen. Je zou bv het volgende kunnen opschrijven: 3,1514 + ‘weet ik veel’ = 1,23569878.

Wiskundigen zijn lui net als wij allemaal, dus ipv ‘weet ik veel’ zoeken we naar iets waar we minder schrijfwerk mee hebben. Ha waarom niet gewoon de eerste letter van het alfabet? Simpel. Dus ipv ‘a thing of beauty is a joy forever’ wordt het ‘make it simpel and you will enjoy it forever’.

Nu weten we natuurlijk nog altijd niet waar die a voor staat of wel? Denk er maar eens zelf over na; ontleden in alle vrijheid. Niemand die zegt hoe het moet. Probeer te bespreken wat 2 + a < 2a allemaal zegt. Probeer te beschrijven wat ‘a’ voor jou betekent.